§ функциясыныЈ графигін салу - Экономика жЩне бас›ару институтыныЈ директоры
.RU

§ функциясыныЈ графигін салу - Экономика жЩне бас›ару институтыныЈ директоры

бет4/7Дата26.04.2017өлшемі0.98 Mb. 1 2 3 4 5 6 7

Мысал 1. µ § функциясыныЈ графигін салу

µ § теЈ емес нЇктелерінде барлы› µ § бол“анда функция аны›тал“ан жЩне Їзіліссіз ,

µ § функцияныЈ мЩндерініЈ облысы.

µ § та› функция. ФункцияныЈ графигі координат басына ›атысты симметриялы, сонды›тан оны µ § интервалында зерттейміз .

µ § ятЇзуі вертикаль асимптотасы, ййткені. µ §

Кйлбеу асимптотасын табайы›:

µ §, µ § берілген ›исы›тыЈ кйлбеу асимптотасы теЈ µ §.

ФункцияныЈ йсу, кему аралы›тарын табу Їшін, оныЈ бірінші туындысын табайы›µ §

[0,Ѓ‡) аралы“ында функцияныЈ мЩні нйлге µ § нЇктелерінде айналады, жЩне шексіздікке µ § бол“анда айналады..


xµ §µ §µ §- 2(-2;0)0(0,2)2µ §µ §µ §µ §>0<0<0<00µ §µ §

вып.maxµ §

вып.µ § вогн.µ § вып.-µ § вогн.minµ § вогн.µ §<000>0
ДйЈестік аралы›тарын, жЩне иілу нЇктелерін табу Їшін, екінші туындысын табайы› µ §

x = 0 y'' нйлге теЈ жЩне x = 2 теЈ бол“анда y'' шексіздікке теЈ . Белгілі, (0,2) интервалында y'' нйлден кем, сонды›тан функция жо“ары ›арай дйЈес, ал µ § жЩне µ § интервалдарында, y''>0 жЩне функция тймен ›арай ойыс. x = 0 нЇктесі иілу нЇктесі, осы нЇктеден йткенде екінші туындысыныЈ таЈбасы йзгереді.

µ §, y (0) = 0.

µ §.


С±ра›тар:

Бірнеше айнымалылы функция

Дербес туындылар

Дербес туындылар жЩне жо“ар“ы ретті дифференциалдар

ДеЈгей беті

Ба“ыттал“ан туынды. Градиент.


№15 ДЩріс.Бірнеше айнымалылы функция
Аны›тама: Егер D жиыныныЈ Щрбір х, у мЩніне E жиыныныЈ бір “ана z мЩні сЩйкестендірілсе, онда z функциясын бір бірінен тЩуелсіз екі х жЩне у айнымалылардыЈ функциясы деп атайды жЩне z=f(x,y) белгіленеді.
D жиыныЈ z функциясыныЈ аны›талу облысы, ал E жиыныныЈ оныЈ мЩндерініЈ жиыны деп атайды. х жЩне у айнымалылары оныЈ аргументтері.
Аны›тама:. (Х,У) жазы›ты“ында D жиыны берілсін. D жиыныныЈ Щрбір нЇктесі йзініЈ кішкентай айма“ымен кіретін болса, онда оны ашы› жиыны деп атайды.
Аны›тама: D жиыны т±йы› деп аталады, егер о“ан D жиыны d шекарасымен кіретін болса.
(х;у) D Щрбір нЇктесіне z=f(x,y) аппликатасы сЩйкестендірілсе, онда (х;у;z) Їшйлшемді кеЈістіктіЈ нЇктелер жиыны - ›айсыбір бет пайда болады. Сонды›тан z=f(x,y) теЈдігін беттіЈ теЈдеуі деп атаймыз.

Z=(x+y)/(x-y)

у=х тЇзуінде Їзіліс бар.

№16-17 ДЩріс.Дербес туындылар


Z = f(x~y) - D облысында аны›тал“ан
Аны›тама: Z=f(x~y) функциясы (x0;y0) нЇктесінде Їзіліссіз деп аталады,

егер (1)


- толы› йсімшесі (2)
Аны›тама: Кйп айнымалылы функцияныЈ белгілі айнымалысыныЈ біреуі бойынша алын“ан дербес туындысы дегеніміз ЁC сЩйкесінше функцияныЈ дербес йсімшесініЈ аргумент йсімшесіне ›атынасыныЈ шегін атайды, келесі шарт орындал“анда x Ўж 0; у Ўж 0.

- f(x~y) функциясыныЈ х бойынша дербес туындысы

егер xZ/x = (f(x + x~ y)-f(x ~y))/x

егер уZ/у = (f(х, у + у) ЁC f(x~ y))/у;


Z = f(Х;У) функциясыныЈ толы› дифференциалы мына формуламен есептеледі.
Дербес туындылар жЩне жо“ар“ы ретті дифференциалдар
Z= f(Х;У) функциясынан алын“ан екінші ретті дербес туындылар деп йзініЈ бірінші дербес туындыларынан алын“ан дербес туындыларын атайды.

ДеЈгей беті


(x,y,z) кеЈістігіндегі D облысын ›арастырайы›, U = u (x,y,z) функциясы берілсін.

D облысында скалярлы› йрісі берілген. Егер, мысалы, U(x,y,z) деп М(x,y,z) нЇктесіндегі температураны белгілесек, онда температураныЈ скалярлы› йрісі берілді дейді, егерде D газбен тол“ан жиынныЈ ›ысымын U(x,y,z) белгілесек, онда ›ысымныЈ скалярлы› йрісі берілген дейді.

U(x,y,z)функциясыныЈ мЩні т±ра›ты С шамасына теЈ, D облысыныЈ нЇктелерін ›арастырайы›;
U (x,y,z) = C
Осы нЇктелердіЈ жиыны ›айсыбір бет ›±райды. Егер С-ныЈ бас›а мЩнін алса›, онда бас›а бет шы“ады. Осы беттерді деЈгей беті деп атайды.
Аны›тама: Егер U функциясы х жЩне у айнымалылары бойынша алын“ан екі айнымалылы функция болса, онда U(x,y) = C теЈдігі орындалатын ОХУ жазы›ты“ында“ы сызы›тар деЈгейлік сызы›тары деп аталады.
U(x,y) = C (3)

Мысал 1.
Z = x2+y2 функциясыныЈ деЈгейлік сызы›тары а центрі координаттар басында, радиусы теЈ шеЈберлер болады.


Ба“ыттал“ан туынды. Градиент.


D облысында u=u(x,y,z) функциясын жЩне М(x,y,z) нЇктесін ›арастырайы›.

М нЇктесінен ба“ыттауыш косинустары теЈ S векторын жЇргізейік.

S векторыныЈ бойынан оныЈ бас нЇктесінен S ›ашы›ты›та жататын М1(x+ x,y+ y, z+ z) нЇктесін ›арастырайы›.

Z
M1

M
(x,y,z)
Y
X

u(x1,y1,z1) функциясы Їздіксіз жЩне D облысында Їзіліссіз туындылары бар (дербес туындылары)


Аны›тама: ›атынасыныЈ шегі U=U(x,y,z) функциясынан (x,y,z) нЇктесінде S векторыныЈ ба“ыттал“ан туындысы деп аталады жЩне деп белгіленеді, я“ни (тол. диф. )
Бас›аша айт›анда

Мысал


U = x2+y2+z2 функциясы берілген S= 2i+j+3k векторыныЈ ба“ытында“ы М(1;1;1) нЇктесіндегі табыЈыз.
М нЇктесінде

Аны›тама:. Z=f(Х;У) функциясыныЈ М(Х;У) нЇктесіндегі градиенті деп координаттары берілген U= f(Х;У; z) функциясыныЈ М нЇктесіндегі сЩйкесінше дербес туындыларына теЈ векторды атайды.

- жылдамды›
Мысал

функциясыныЈ (3;4) нЇктесіндегі U функциясыныЈ ба“ытында“ы туындысын табыЈыз.

(du)/(ds) =пр. Grad u
Егер S векторыныЈ ба“ыты grad u ба“ытымен дЩл келсе, онда S ба“ытында“ы кйлбеу максимум“а жетеді.

Сонды›тан grad u ЁC ба“ытында“ы функцияныЈ еЈ Їлкен туындысы Vu/Vs теЈ, я“ни функция тілінде еЈ Їлкен жылдамды“ы бар болатын, ол вектор.

Градиент - деген осы ба“ытында“ы функцияныЈ йсуініЈ еЈ Їлкен жылдамды“ы болатын вектор.

Max(du)/(ds)= Grad u

Max(du)/(ds)= Grad u

исуініЈ еЈ кіші жылдамды“ын функция grad u ба“ытына ›арсы бол“анда жетеді.

Min(du)/(ds)= Grad u
ГрадиенттіЈ экономикалы› ма“ынасы:

Градиент функцияныЈ жылдам йсуініЈ ба“ытын кйрсетеді, ал оныЈ йсуініЈ жылдамды“ы градиенттіЈ модулына теЈ.

6. Бірнеше айнымалылы функцияныЈ экстремумы

M(x0;y0) нЇктесініЈ айма“ы деп центрі M0 нЇктесінде дйЈгелектіЈ ішінде жататын жазы›ты›тыЈ нЇктелерініЈ жиынын атайды.

f(х;у)функциясыныЈ нЇктесінде максимумы бар, егер осы нЇктеніЈ айма“ында мына теЈсіздік орындалса:

f(Х;У) (х;у) нЇктесіндегі ЁCлокальды› max

f(х;у)функциясыныЈ нЇктесінде минимумы бар, егер осы нЇктеніЈ айма“ында мына теЈсіздік орындалса:

f(Х;У) (х;у) нЇктесіндегі ЁC локальды› min

Теорема: (ЭкстремумныЈ бар болуыныЈ ›ажетті шарты)
Егер функцияныЈ M(x0;y0) нЇктесінде экстремумдары бар жЩне осы нЇктедегі дербес туындылары жЩне теЈ болса, онда

, (1)
Теорема: (ЭкстремумныЈ бар болуыныЈ жеткілікті шарты)

f(х;у) функциясы M(x0;y0) нЇктесініЈ айма“ында йзініЈ бірінші жЩне екінші ретті дербес туындыларымен Їзіліссіз, (1) шартты ›ана“аттандырады.

Белгілейік

Онда M0 нЇктесінде f(x,y) функциясыныЈ:

минимумы бар, егер D>0, A>0

максимумы бар, егер D>0, A<0

экстремумдары жо›, егер D<0


Та›ырып›а практикалы› саба›тар

Мысал 1.
Мысал 2

ТабыЈыз

Мысал 3. ФункцияныЈ экстремумын табыЈыз:

;

;

, ;


минимумы бар, себебі

Мысал 4.


функциясыныЈ М(1;1) нЇктесіндегі векторыныЈ ба“ытында“ы туындысын табыЈыз:

№3 лекцияныЈ та›ырыбы: аны›талма“ан интеграл.

С±ра›тар:

Ал“аш›ы функция жЩне аны›талма“ан интеграл.

Негізгі ›асиеттері.

3) Аны›талма“ан интегралдар кестесі.


№11-13 Ал“аш›ы функция жЩне аны›талма“ан интеграл. Негізгі ›асиеттері. Аны›талма“ан интегралдар кестесі.

Аны›тама: [a,b] аралы“ында дифференциалданатын F(x) функцияныЈ туындысы берілген f(x) функциясына теЈ болса, я“ни F’(x)=f(x) болса, онда F(x) функциясын f(x)функциясыныЈ ал“аш›ы функциясы дейді.

 Мысалы, f(x) = х2  функциясыныЈ ал“аш›ы функциясы

 

   



 ййткені
 

 С кез келген т±ра›ты (константа), я“ни кез келген сан болсын. Егер f(x)  функциясыныЈ ал“аш›ы функциясы F(x) болса, онда F(x) +С  функциясы да оныЈ ал“аш›ы функциясы болады, себебі (F(x) +С)’= F’(x) +С’=f(x)  +0=f(x) F(x) +С функциясы f(x) функциясыныЈ барлы› ал“аш›ы функцияларын аны›тайды.

 
   Немесе

 

 



(C ЁC кез келген т±ра›ты), ййткені

 

 .



  Аны›тама: Егер F’(x)=f(x) болса, онда F(x) +С функциясын f(x)функциясыныЈ аны›талма“ан интегралы дейді жЩне ол Ѓзf(x)d символымен белгіленеді.

 

Сонымен Ѓзf(x)dx = F(x) + C, егер F’(x)=f(x).



 f(x)  интеграл ішіндегі  функция, f(x)dx ЁC интеграл астында“ы йрнек, знак Ѓз-  интеграл таЈбасы.

 

Аны›талма“ан  интеграл мына  функциялар жиыны болып табылады:



y = F(x) + C.

 

ТуындыныЈ геометриялы› ма“ынасы бойынша y = F(x) ›исы“ына  абсциссасы х болатын нЇктеде жЇргізілген жанаманыЈ б±рышты› коэффициенті F(x) мЩніне теЈ. Сонды›тан f(x) функциясыныЈ ал“аш›ы функциясын табу дегеніміз, ол х нЇктесінде б±рышты› коэффициенті f(x) мЩніне теЈ болатын y = F(x) ›исы“ын табу болады.  



 

Теорема: Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде Їзіліссіз болса, онда б±л функцияныЈ ал“аш›ы функциясы (аны›талма“ан интегралы) бар болады.

Аны›талма“ан интегралдыЈ негізгі ›асиеттері:

1.  Аны›талма“ан интегралдыЈ туындысы интеграл ішіндегі функция“а теЈ, я“ни  (Ѓзf(x)dx)’ = (F(x)+c)’=f(x)

2.  Аны›талма“ан интегралдыЈ дифференциалы интеграл ішіндегі йрнекке теЈ, я“ни  d(Ѓзf(x)dx) = f(x)dx

3.  Функция дифференциалыныЈ аны›талма“ан интегралы осы функция мен кез келген санныЈ ›осындысына теЈ, я“ни  ЃзdF(x) = F(x)+C.

4.   Функция туындысыныЈ аны›талма“ан интегралы осы функция мен кез келген санныЈ ›осындысына теЈ, я“ни  „ЕF’(x)dx=F(x)+C.

5.  Екі функцияныЈ алгебралы› ›осындысыныЈ интегралы олардыЈ интегралдарыныЈ алгебралы› ›осындысына теЈ, я“ни

 

 

 6.     Т±ра›ты кйбейткішті интеграл таЈбасыныЈ алдына шы“ару“а болады, я“ни Ѓзаf(x)dx = а Ѓзf(x)dx.


7.   Егер Ѓзf(x)dx = F(x)+C, онда

 8.      Егер Ѓзf(x)dx = F(x)+C, онда Ѓзf(x+b)dx = F(x+b)+C.

  9.     Егер Ѓзf(x)dx = F(x)+C, онда

 

 Негізгі элементар функциялардыЈ интегралдарын, я“ни аны›талма“ан  интегралдар кестесін келтіреміз.



 Аны›талма“ан  интегралдар кестесі.

 

 



1.       2.       

3.       4.       

5.       6.       

7.       8.       

9.       10.   

11.   12.   13.    

Мысалдар ›арастырайы›:

 

1.



 

 (1 формула бойынша);

 

 2.


 

 

 



 

 

 


  3.    (7 ›асиеті);

 4.    ( 9 ›асиеті);
 

  5.


 

 6.


 

 

Айнымалыны алмастыру тЩсілмен интегралдау


1. ИнтегралдаудыЈ негізгі тЩсілдерініЈ бірі-айнымалыны алмастыру тЩсілі. Ол мына формула“а негізделген Ѓзf(x)dx

x=ѓЪ(t),dx=ц'(t)dt = >Ѓзf(x)dx=Ѓзf[ц(t)]ц’(t)dt,           (1)

м±нда“ы х=ц(t) ЁC берілген аралы›та дифференциалданатын функция.

 

Тиімді табыл“ан айнымалыны алмастыру формуласы берілген интегралды жеЈіл интегралдайтын интеграл“а, ал кейбір жа“дайларда таблицалы› интеграл“а келтіреді.



 Мысалдар:

 7.


 

 

 



 

 

 3. Бйлшектеп интегралдау Щдісі



 

Айталы›, u=u(x), v=v(x) ЁCдифференциалданатын функциялар болсын.

Онда

d(uv) = udv+vdu теЈдігі орындалады.



Немесе udv = d(uv)-vdu

Осы теЈдіктіЈ екі жа“ынан интеграл алайы›:

Ѓзudv=uv-Ѓзvdu                  (2)

 

(2) формуласын бйлшектеп интегралдау формуласы дейді.



 

Кейбір жа“дайда бйлшектеп интегралдау формуласын ›олдану ар›ылы берілген интегралды ал“аш›ы“а ›ара“анда ана“±рлым жеЈіл алынатын интеграл“а келтіруге болады.

 Мысалы:  

8.
 

 

 Кейде б±л Щдісті интегралдаудыЈ бас›а да тЩсілдерін толы›тыра отырып, бірнеше рет ›олдану“а тура келеді.



  9.

 
 


 
 = -x2cosx + 2(xsinx-„Еsinxdx) =

= -x2cosx + 2xsinx - 2„Еsinxdx = -x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C;

 

 10.


 

 
 


 

  

 



 

 

 



 

 

11.



 

 

 



 

 
 


 

 

 



 

 Шы“ады


 

 

 



 

 

 



 

 

 љарастырыл“ан мысалдарды талдай отырып, бйлшектеп интегралдау тЩсілін ›олдану“а болатын интегралдардыЈ тЇрлерін келтіруге болады:



 

1. ЃзP(x) eбx dx, ЃзP(x)sinmxdx, ЃзP(x)cosmxdx

2. ЃзP(x)lnxdx, ЃзP(x)arcsinxdx, ЃзP(x)arccosxdx, ЃзP(x)arctgxdx,  ЃзP(x)arcctgxdx,

м±нда“ы P(x)  n-й дЩрежелі кйпмЇшелік.

Бірінші топтыЈ интегралдарына u ретінде  P(x) мЇшелігін ал“ан жйн, екінші топтыЈ интегралдарына   u ретінде  lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx йрнегін, ал dv ЁC  P(x)dx йрнегін ал“ан жйн.

 


Рационал функцияларды интегралдау
Рационал функцияныЈ жалпы тЇрі , м±нда“ы  Р(х) жЩне Q(x) ЁC кйпмЇше.

Егер алымыныЈ дЩрежесі бйлімініЈ дЩрежесінен кіші болса д±рыс бйлшек деп, алымыныЈ дЩрежесі бйлімініЈ дЩрежесінен арты› болса б±рыс бйлшек деп аталады. Б±рыс бйлшекті интегралдау Їшін алдымен алымын бйліміне бйлу ар›ылы оны кйпмЇше мен д±рыс бйлшектіЈ ›осындысына жіктейміз.

 Мысалы:

1.

2.



 
БЇтін бйлікті интегралдауды білеміз, сонды›тан 1-ші, 2-ші дЩрежелі кйпмЇше болып табылатын д±рыс тиімді бйлшектерді интегралдаумен шектелеміз. Жалпы тЇрде м±ндай бйлшектерді интегралдары келесідей ретпен жазылады.

   


                        (3) жЩне  (4)

 

 (4 тЇрдегі интеграл тймендегі тЇрдегі 1 немесе 2 интегралды табу“а келтіреді:



 

 

а.       



б.     

в.      


г.       

д.      


е.      

 Сонды›тан, осы интегралдарды ›арастырамыз: а), б), е) интегралдары кестелік болып табылады.

 

г)

 



 

 интегралы , dt=dx айнымалыны ауыстыру тЩсілімен шы“арылады.

 

Интеграл



д)

 

 



 тЇрлендірейік:

 

 


 

 
 

  

  Интеграл е)



 

 айнымалыны ауыстыру тЩсілімен шы“арылады:   ,

 

dt=2xdx, Осыдан:



 

 

   



 

 

тЇрдегі интегралды (5) топта“ы интегралдардыЈ біреуіне келтіру Їшін f(x) функциясы бйліміне толы› квадратты айры›ша кйрсетеді.



Мысал:

12.
 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

  13.


 

 
 


 

 

 



 

 

 



 

 

 


 (5) топта“ы  д), б) типті интегралдар

 

 


 

 

 



 

 

5. Рационал функцияларды интегралда“анда аны›талма“ан коэффициенттер Щдісі.



 

 

Айталы›  рационал бйлшекті  интегралдау керек .



Егер берілген бйлшек б±рыс болса, онда алдымен алымын бйліміне ар›ылы оны кйпмЇше М(х) мен  д±рыс бйлшектіЈ ›осындысына жіктейміз.

 

Теорема: Егер: F(x) = (x-a)б....(x-b)в  (x2+px+q)м....(x2+lx+s)нболса, онда  бйлшекті мына тЇрде жіктеуге болады:



               (5)

 

 



 

 

 



 

 

 



 
 8.1.   М±нда“ы А, А1,ЎK..В, В1 коэффициенттері ЁC на›ты сандар. Осы сандарды табу Їшін (6) теЈдігініЈ екі жа“ын f(x) функциясына кйбейтеді. Сонда теЈдіктіЈ екі жа“ында да кйпмЇше болады. Осы теЈдіктен бірдей дЩрежелі х-тыЈ алдында“ы коэффициенттерді теЈестіре отырып, алгебралы› теЈдеулер жЇйесін ›±рамыз. Алын“ан теЈдеулер жЇйесінен А, А1, В, В1 коэффициенттерініЈ мЩндерін тауып, оларды (6) теЈдігіне апарып ›оямыз. Осылай рационал бйлшектіЈ жіктеуін табамыз. Осы Щдісті аны›талма“ан коэффициенттер тЩсілі дейді.

(5) формуланыЈ нЩтижесінен ›арапайым бйлшектердіЈ бірі бйліміндегі тЇбірін аны›талатыны кйрсетіледі. Тймендегі 4 жа“дайы болуы мЇмкін:

 1 жа“дай.

БйлшектіЈ бйлімініЈ тЇбірлері на›ты, бір біріне теЈ емес сандар, f(x) = (x-a)(x-b)....(x-d)


М±нда  бйлшегі I типті ›арапайым бйлшектерге жіктеленеді:

 

 

 



 

2 жа“дай.

БйлшектіЈ бйлімініЈ тЇбірлері на›ты сандар, біра› арасында бір біріне теЈ тЇбірлері бар болса:

f(x) = (x-a)б(x-b)в....(x-d)д

 

Б±л кезде    бйлшегі I, II типті ›арапайым бйлшектерге жіктелінеді.



 

Мысал:


 

 ОЈ жа“ында“ы йрнекті орта› бйліміне келтіріп, теЈдеудіЈ екі жа“ында теЈестіреміз:

 

 

 



 Аны›талма“ан коэффициенттер тЩсілімен тймендегіні табамыз:

 

1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)2



1=Ax2+2Ax-Ax-2A+Bx+2B+Cx2-2Cx+C

1=(A+C)x2+(A+B-2C)x+(-2A+2B+C);

 

x2                0=A+C                 (х-тіЈ бірдей дЩрежелі коэффициенттерін теЈестіреміз)



 

x1                0=A+B-2C          

x0                1=-2A+2B+C

 

 



   

                                        3B=1;

                                        B=1/3;

  

 



 

 

 



 

 

 



 

 
3 жа“дай. Бйлшек бйлімініЈ арасында комплекстік ›айталанылмайтын сандар болса, f(x)=(x2+px+q)....(x2+ls+s)(x-a)б....(x-b)в

 

Б±л жа“дайда  бйлшегі I, II, III типтік ›арапайым бйлшектерге жіктелінеді.



Мысал:

 

 


 Д<0 бол“анды›тан, на›ты тЇбірлері болмайды.

 Интеграл астында“ы функцияны I,III типтік ›арапайым бйлшектерге жіктейміз.

 

 



 
 х-тіЈ дЩрежелері бол“анда  коэффициенттерін теЈестіреміз:

 

 



 

 

 



 

 

 



 Осылайша,

 

   



 

 

 



  

Екінші интегралды бйлімініЈ толы› квадраттын айырып йрнектейміз:

  

 

 



 

 

 



 

 
 Сонда:

 
 

 

 



  4 жа“дай. Бйлшек бйлімініЈ тЇбірлері арасында  комплекстік ›айталанатын сандар болса,

 

 



 Б±л жа“дайда  бйлшегі IV типтік ›арапайым бйлшек деп жіктеленеді.

Мысал:


 

 

 



 

 

 



 

 

 



  

 

 



  

 

 



 Егер х=0, онда 1= - А;

х=1, онда 1=В;

х=2, онда 1=9А+18В+6(2С+D)+(2M+N)2

  

6. Кейбір тригонометриялы› йрнектерді интегралдау



 ИнтегралдыЈ тЇрлері

 

 



 

  мына формулалар ар›ылы есептеледі:

 

 

 



 Мысал

 

 


Интегралдар тЇрлері , м±нда“ы n жЩне m ЁC бЇтін сандар, алмастырулар ар›ылы интеграл табу“а болады:

 

№m, n ›ойылатын шарттаралмастырулар1m, n ЁC ж±п оЈ сандар 



 

 

 2 m, n ЁCсандарыныЈ біреуі та› жЩне оЈТа›  дЩрежесінен кйбейткішті айырамыз sinx (немесе cosx) ,  дифференциал таЈбасыныЈ астына кіргіземіз, келесі алмастыру



t = sinx  (немесе  t = cos x) 3m, n ЁC ж±п сандар, жЩне біреуі теріс 

4m, n ЁC ж±п сандар, жЩне екеуіде терісалымында

,

м±нда“ы k=1,2,3ЎK



 Мысал 1.

    


  = [тип 1] = 

 
 


 

 

 Мысал 2.



 

   


 

 

 Мысал 3.



 

Интеграл  (2)типті:

 

 

 



 

 

 



 

 

  



 

 

 


Мысал  4. Интеграл  (3)типті:

  

 



 

 

 



 

 

 


Мысал 5. Интеграл  (4)типті:

 

   



 

 

 



 

 

 



 Интегралдар тЇрлері  м±нда“ы R ЁC рационал функциялар.

 

№љосымша шарттаралмастрылар1Sinx ›атысты функция та›



    

 

 2Сosx ›атысты функция та›



    

 

  3sinx жЩне cosx ›атысты функция ж±п



 

  

    



4   тЩуелді функция тЇріне келтіруге болады

  

5ФункцияныЈ жалпы тЇріуниверсалды› тригонометриялы› алмастырулар  



  

  

Егер мЇмкіндік болса, онда 1-3 алмастыруларды пайдалан“ан жйн, ййткені универсалды› тригонометриялы› алмастырулар кЇрделі есептеулерге апарады.



 Мысал 6.

Интегралды есепте

 
  Шешуі:

типті интеграл:  онда:


 

 



 

 

 Мысал 7.



 Интегралды есепте   .

 Шешуі: (3)типті интеграл:

 

 

 



 онда:

 

 


 

 

 



 
Мысал 8 ((3)типті):
 

 

 



 

 

 



 

 

 Мысал 9.



 

Интегралды есепте:  .

 

Шешуі:
(4)типті интеграл



 

 

 



 

Мысал 10.

 

(универсалды› тригонометриялы› алмастырулар):



 

 
 


 

 

 


Мысал 11. (5) типті интеграл:
 

 

Мысал 12:



 Та“ы да бір мысал универсалды› тригонометриялы› алмастырулар“а:

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Иррационал функциялардыЈ кейбір тЇрлерін интегралдау



 

Интегралды ›арастырайы›  м±нда“ы R - йзініЈ аргументінен алын“ан рационал функция.

R- бйлшектерініЈ орта› бйлімі  

Алмастырайы›:

 Онда Щрбір бйлшек тЇріндегі дЩреже х бЇтін дЩрежесі t ар›ылы йрнектеледі, сонды›тан, интеграл таЈбасыныЈ астында“ы функция t-“а ›атысты рационал функция“а айналады.

Мысал 1.


 

 

 


 

 

 



 Интегралдар тЇрлері

 

 



 

 алмастыруы ар›ылы рационал функцияныЈ интегралына келтіруге болады.

R- бйлшектерініЈ орта› бйлімі  

 Мысал 2.


 
 

 

 



 

 

 



 

 


Интегралдар тЇрін  тймендегі жолымен шы“ару“а болады.
Мысал: 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 
 


 

 
 


 

 №5 лекцияныЈ та›ырыбы: Аны›тал“ан интеграл.

С±ра›тар:

Аны›тал“ан интеграл ±“ымына келтіретін есептер.

РиманныЈ аны›тал“ан интегралы

Ньютон-Лейбниц формуласы

Аны›тал“ан интегралдыЈ ›асиеттері.

Аны›тал“ан интегралда айнымалыны алмастыру Щдісі.

Декартты› жЩне полярлы› координаттарда до“аныЈ ±зынды“ын есептеу.

Ох жЩне Оу осьтері бойынша айналу денесініЈ кйлемін табыЈыз.

До“а ›исы“ыныЈ ауырлы› центрініЈ жЩне фигура жазы›ты“ыныЈ координаталары.

№14 ДЩріс. Аны›тал“ан интеграл ±“ымына келтіретін есептер.


Егер f(x) ЁCЇзіліссіз

ТабыЈыз: SaABb

сегментін бйлу нЇктелері ар›ылы бйлейік жЩне кез келген (i=0,1,ЎKn-1) нЇктесін алайы›.



Достарыңызбен бөлісу:

15-moral-satanizma-kak-kollektivnoe-soznatelnoe-koncepciya-satanizma.html
15-nauchnie-i-inzhenernie-osnovi-tehnologii-tehnologiya-energonasishennih-materialov-i-izdelij-vseh-form-obucheniya.html
15-nematerialni-aktivi-otchet-za-dohodite-1-balans-2.html
15-novizna-16-obosnovanie-moskovskij-gosudarstvennij-institut-elektroniki-i-matematiki.html
15-obespechenie-kredita-diplomnaya-rabota.html
15-obshestvennaya-misl-v-rossii-vo-vtoroj-chetverti-hih-veka-zapadniki-i-slavyanofili-bilet-15.html
  • lecture.bystrickaya.ru/45zaklyuchenie-dogovora-v-obyazatelnom-poryadke-shpargalka-po-pravovedeniyu-ponyatie-nauki-pravovedenie-ee-predmet-i-metodi.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tradicionnaya-sistema-zhizneobespecheniya-stranica-13.html
  • studies.bystrickaya.ru/glava-11-httpwww-spider-world-narod-rushadowland-htm.html
  • spur.bystrickaya.ru/lekciya-zashitnie-mehanizmi-operacionnih-sistem.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-viii-zhivi-budem-ne-pomrem-statyam-vplot-do-kislorodnogo-golodaniya.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-specialnost-100110-domovedenie-cheboksari-stranica-5.html
  • abstract.bystrickaya.ru/2-po-uchrezhdeniyam-srednego-professionalnogo-obrazovaniya-respubliki-tatarstan.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prava-chitatelej-iz-zernishka-kak-danielya-pennaka-chitali-v-stanice-dinskoj-olga-nikolaevna-stepankova.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-uchebnoj-disciplini-ontologiya-zaochnaya-forma-obucheniya.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-vvedenie-v-obshuyu-psihopatologiyu-psihopatologiya-chuvstvennogo-poznaniya-gallyucinacii-kurs-lekcij-po-klinicheskoj-psihiatrii-kak-vsegda-nachinaetsya-s-izlozheniya-obshej-psihopatologii-stranica-2.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/ochnoj-formi-obucheniya-po-specialnosti.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tri-pervosvyashennika-odnovremenno-na-svyatom-prestole-leo-taksil-svyashennij-vertep-svyatie-rasputniki.html
  • esse.bystrickaya.ru/referat-na-temu-ornamenti-drevnej-grecii.html
  • education.bystrickaya.ru/1-obrashenie-k-chitatelyu-vstuplenie-stranica-4.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-4-kalendarnie-cherti-i-rezi-kniga-yavlyaetsya-pryamim-prodolzheniem-kak-bi-vtorim-tomom-moego-issledovaniya.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-disciplini-analiz-finansovih-rinkov-dlya-napravleniya-080100-62-ekonomika-podgotovki-bakalavra-avtori-d-e-n-professor-teplova-t-v-i-k-e-n-docent-menshikov-s-m.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/5-uchet-inostrannih-grazhdan-po-mestu-prebivaniya-metodicheskie-rekomendacii-organam-mestnogo-samoupravleniya-v-sfere.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/lechenie-gidropiritom.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programmi-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-naimenovanie-obrazovatelnoj-programmi-stranica-4.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-seti-svyazi-napravlenie-podgotovki.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zh-pajdalanu-zhne-zhndeu-280440-shten-zhanu-ozaltishtari-mamandii-tlmgerlerne-zerthanali-zhmistarin-orindaua-arnalan-dstemelk-nsaular-pavlodar.html
  • report.bystrickaya.ru/hodikov-ya-dorogoj-moj-etot-yashik-na-vashej-golove-razobyu-v-sleduyushij-raz-podduzhnij.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/metalloobrabotka-programma-razvitiya-municipalnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-dopolnitelnogo-obrazovaniya-detej.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/sotovie-telefoni-tretego-pokoleniya-3g.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/voprosi-dlya-uchashihsya-kak-chasto-proishodyat-konflikti-v-vashej-zhizni.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sobachij-kommunizm-v-otdelno-vzyatom-gorode-utopiya-radio-12-mayak-novosti-06-02-2006-kucherenko-20-00-12.html
  • lesson.bystrickaya.ru/moral-kak-vid-kulturi.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-uchebnoj-disciplini.html
  • lecture.bystrickaya.ru/avarii-na-kommunalno-energeticheskih-setyah-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti.html
  • composition.bystrickaya.ru/pokazatel--30-iyunya-2008g-a-o-artemev-podpis-i-o-familiya-data-12-avgusta-2008-g.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/anisimov-a-p-aktualnie-problemi-pravovogo-rezhima-zemel-naselennih-punktov-v-rossijskoj-federacii-monografiya-stranica-27.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-opd-obshaya-pedagogika-dlya-specialnosti-070440-gosudarstvennoe-i-mestnoe-upravlenie.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/romansi-rahmaninova.html
  • predmet.bystrickaya.ru/ris-vved-diagramma-dendrohronologicheskih-datirovoochnih-shkal-dlya-italii-balkan-grecii-i-turcii-zdes-otrazheno-sostoyanie-etogo-voprosa-na-1994-god-laborato.html
  • literature.bystrickaya.ru/dostavali-tut-troe-carej-predislovie-ot-perevodchika.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.