.RU

2. Решение Диофантовых уравнений




Оглавление:


Введение …………………………………………………………………………………………………1-2

1. Диофант и его труды ……………………………………………………………………………3-4

2. Решение Диофантовых уравнений……………………………………………………..4-7

2.1. Диофантовы уравнения с одним неизвестным ……………………………..4-5

2.2. Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2………….5-6

2.3. Примеры решения задач………………………………………………………………….7

3. Мои исследования………………………………………………………………………………8-11

4. О «многоугольных числах» Диофанта………………………………………………11-14

5. Заключение ………………………………………………………………………………………..15

6. Список используемой литературы ……………………………………………………16


Введение.

Не много истории. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. Диофант цитирует Гипсикла - II век до нашей эры, о Диофанте пишет Теон Александрийский - около 350 года нашей эры, можно предположить, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - никто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III века нашей эры. Место жительства Диофанта хорошо известно – это знаменитая Александрия. Центр научной мысли эллинистического мира. В Палатинской антологии содержится эпиграмма–задача:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень.

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая. С подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Перевод Боброва С.Н.)

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:



Таким образом, Диофант прожил 84 года.*(Энциклопедический словарь юного математика. составитель Савин А.П.– Москва: педагогика, 1989 г.)

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы:

1. Имеет ли уравнение целочисленные решения;

2. Конечное, или бесконечное множество его целочисленных решений;

3. Решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения

4. Решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

Поэтому мне представляется интересным самому исследовать на основе фактов представленных ранее «Диофантовы уравнения».

Отсюда целью моей работы является:

-Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной;

-Исследовать варианты уравнений с двумя неизвестными;

-Найти общие закономерности результатов решений поставленных задач.

Актуальность исследования обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление «Диофантовых уравнений»

Материал, представленный в данной работе, основывается на исследовании олимпиадных задачах и экзаменационных работах.

I^ . Диофант и его труды

Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до наших дней сохранились только шесть первых книг из тринадцати. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач их всего 189, каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач. Главная проблематика «Арифметики» – это нахождение положительных рациональных решений неопределенных уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков. Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных. Он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама, Абу Камил и другие, продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из его в своей «Алгебре» (1572 года). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма, впрочем, в Новое время неопределенные уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Известны и другие сочинения Диофанта. Трактат «О многоугольных числах» сохранился не полностью. В сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем. Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки. Книга Диофанта «Поризмы» известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.*(Перельман А.Я. Живая математика. – Москва, 1962 г.)

Вывод: На основании вышеизложенного материала следует сделать вывод о том, что Диофант Александрийский не останавливается на одном решении, он старается обнаружить второе и последующее в поставленной задаче.

2. Решение Диофантовых уравнений.

2.1. Диофантовы уравнения с одним неизвестным.

,

где - целые числа.

Теорема. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем числа (свободного члена уравнения). Таким образом, при отыскании целых корней уравнения с целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители свободного члена.*(Приглашение в элементарную теорию чисел. А. Э. Сергеев, Э. А. Сергеев.)

Задача 1. Решить в целых числах уравнение

.

Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители .

Среди этих чисел и будем искать целые корни данного уравнения. Подстановкой

убеждаемся, что корнями являются числа 1 и – 3.

Ответ: .

Задача 2. Решить в целых числах уравнение

2x4 + 7x3 - 12x2 - 38x + 21 = 0.

Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители

.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что из этого множества только

число -3 является его целым корнем.

Ответ: х=-3.

2.2. Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2

Существует еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.

Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (Рис. 1)

Рис. 1.

В точке С где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,

32 + 42 = 52. Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения

Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений?

Один из путей решения уравнения в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … .

А теперь внимание! Нет ли и в нижней строке квадратных чисел? Есть! Первое из них 9 = 32, над ним 16 = 42 и 25 = 52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13 и т. д. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов. Составлять такие строки – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Проверим что если - нечетное число, то и . Проверим также, что в этом случае равенство выполняется, т. е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «Пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

если то получилась первая пифагорова тройка;

если то и - вторая тройка и т.д.*(Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.)

2.3. Примеры решения задач.

Задача 1.Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: . Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или .

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: .

Задача 2. Доказать, что уравнение

не имеет целых решений.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем данное уравнение в виде. 1 случай. Пусть у=0, тогда исходное уравнение примет вид .Тогда , но это число не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений. 2 случай. Пусть , тогда все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максиму четырёх различных множителей (33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·1 и т.д.). Следовательно, при данное уравнение также не имеет целых решений.*(Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М:Советская наука, 1956). Следует сделать вывод о том, что решения уравнений сводятся к нахождению натуральных чисел; с помощью «Пифагоровой тройки»

^ 3. Мои исследования.

1. Найти все натуральные числа с, для которых уравнение Зх + 5у = с имеет решение в неотрицательных целых числах.

Ясно, что при с = 3,5, 6, 8, 9 уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных числах х и у, а при с = 1, 2, 4, 7 таких решений уравнение не имеет. Заметим также, что если Зn + 5т = с, (n,m Є N ), то 3(n +1) + 5т = с + 3, поэтому, так как 3*1 + 5*1 = 8, то уравнение Зх + 5у = с при с = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14, 17, 20, 23,... имеет решение. Аналогично, так как 3*3 = 9 и 5*2 = 10, то при с = 9, 9 + 3 = 12, 15, 18,... и при с = 10, 13, 16, 19,... уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных целых числах. Но в последовательностях 8 + 3t, 9 + 3t, 10 + 3t, где t = 0,1, 2, 3,... содержатся все натуральные числа больше 7. Таким образом, при любом натуральном с > 1 уравнение Зх + 5 у = с имеет решение в неотрицательных целых числах х и у. Приведу еще один способ решения задания. Этот способ менее изощренный, чем ранее приведенный, но более универсальный. Состоит он в том, что сначала мы находим все целочисленные решения уравнения по формулам (1), а затем в силу неотрицательности х и у получаем некоторые ограничения на целочисленный параметр t. Итак, из 3*2 + 5*(-1) = 1 следует, 3*(2с) + 5*(-с) = с, то есть х0=2с и у0=-с. Откуда, по формулам (1) получаем х = 2с-5t, у = -с + 3t. Далее, из условий 2c-5t≥0 и -с+ 3t≥0 получаем t Є [c/3,2c/5]. Таким образом, для решения задачи нам надо указать все такие натуральные значения с, при которых отрезок [c/3, 2c/5] содержит хотя бы одно целое число. Ясно, что если длина отрезка

2c/5 – c/3 = c/15 не менее единицы, то в нем обязательно содержится целое число. Отсюда следует, что при с ≥15 уравнение 3х +5у=с разрешимо в неотрицательных целых числах. Случаи, когда 1≤с≤14, можно легко проверить простым перебором. Найдем, что с Є {3;5;6;8;9;10;11;12;13;14}. Таким образом, получаем ответ: с Є {3;5;6} U {z Є Z │ z≥8 }.

^ 2. Решить в целых числах уравнение:



Разделим 5 на -4 с «остатком», , преобразуем исходное уравнение к виду

.

Заменив получим , следовательно



является решением данного уравнения. Рассмотрим такие диофантовы уравнения:

x2-Dy2=1. Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое: 6492-13*1802=1. Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует. Рассмотрим минимальные решения D <= 10:

32 - 2*22=1; 22 - 3*12=1; 92 - 5*42=1; 52 - 6*22=1; 82 - 7*32=1; 32 - 8*12=1; 192 - 10*62=1.

Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10. Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D.

^ 3. Решить диофантово уравнение:

23х-13у+7z=5 Выбираем наименьший по модулю коэффициенты x,y,z. В нашем случае это 7, затем остальные коэффициенты 23 и 13, при неизвестных представляем в виде: 23= 7*3+2, 13=7*2+(-1), тогда преобразуем уравнение следующим образом: (7*3+2)х-(7*2-1)у+7z=5,

Откуда 2х+у+7(3х-2у+z)=5. Полагая теперь и= 3х-2у+z, получаем уравнение: 2х+у+7и=5.

Далее находим у из последнего равенства, т.е. у=5-2х-7и и z=-3x+2у+и. Подставляя в последние равенство выражение для у, находим, что z=-3х+2(5-2х-7и)+ и=-7х -13и +10.

Таким образом, окончательно получаем: У= 5-2х-7и, z=10-7х-13и, где параметры х, и Є Z дают общее решение предположенного диофантова уравнения. Этот метод «наименьшего коэффициента» применим и для решения диофантовых уравнений вида ax+by=c.

^ 4. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5- остаток 3.

Обозначим искомое число через х. Если частное от деления х на 3 обозначим через у, а частное от деления на 5 через z, то по теореме о делении с остатком получим х=3у+2, х=5z+3. Таким образом, нам надо решить в натуральных числах уравнение 5z-3у+1=0. Применяя описанный ранее алгоритм решения этого уравнения, получаем z=1+3t, y= 2+5t (t Є Z) и, значит, x=5z+3=5(2+3t)+3= 8+15t. Так как х по условию должен быть натуральным числом, то параметр t в ответе должен принимать только неотрицательные целые значения, т.е. Х=8+15t, t Є Z.

^ 5. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Пусть х – число фломастеров, у – число карандашей, тогда по условию 7х+ 4у=53. Частное решение этого линейного диофантова уравнения есть: х=7, у=1. Тогда общее решение его имеет вид: х= 7-4t, y= 1+7t, t Є Z. Однако, так как по условию х> 0, y>0, то значениями параметра t могут быть лишь t=0 и t=1. При t=0 получаем х=7, у=1, а при t=1 имеем: х=3, у=8. Таким образом, решений два, т.е. возможны два варианта покупки фломастеров и карандашей на сумму 53 рубля.


6. Разность двух натуральных чисел равна 66, а их НОК равно 360. Найти эти числа.

Пусть а и b данные натуральные числа, тогда, по условию, имеем систему уравнений: Так как

а| 360, b | 360, то 360 = а*n, 360 = b*т, где n, m Є N. Отсюда получаем

, , и, подставляя эти выражения в первое уравнение системы, приведя к общему знаменателю, имеем 60m-60n=11mn, откуда находим

. Так как m>0 и n- натуральное число, причем n0, то перебором находим n=4, n=5, тогда m=15, m=60, а значит, =90, =24 и =72, =6. Таким образом, получаем, что две пары чисел удовлетворяют условию задачи:

а=90, b=24 и a=72, , b=6. *( Форков А.В. Математические олимпиады в школе. – Москва: Айрис - пресс, 2003 г.)

Вывод: На основании проведенных мною исследований по Диофантовым уравнениям следует сделать вывод о том, что можно использовать различные подходы при их решении.

^ 4. О «многоугольных числах» Диофанта

Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная с трех, является первым, начиная от единицы, называется многоугольником и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — четырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д. О квадратах хорошо известно, что они получаются от умножения некоторого числа на самого себя. Доказывается также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее от количества его углов, и сложенный с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от количества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат. Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложенное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних.

Действительно, пусть три числа АВ, В Г и ВД имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ*ВГ, (сложенное с АВ2, образует квадрат, сторона которого равна сумме АВ и 2ВГ.



8АВ*ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ*ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ*ВГ, 4ВГ2 и 4АГ*ВГ т. е. 4ВГ*ГД, ибо АГ равно ГД; вместе же с ДВ2 получится АВ2 . Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с ДВ2, дает В А2. Теперь остается узнать, каким образом АВ2 вместе с 4АВ*ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ*ВГ преобразуется в 4ВА*АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 или с 4АЕ2, сделается равным 4ВЕ*ЕА (ВА*АЕ + АЕ2 = АЕ*(АЕ + АВ) = ВЕ*ЕА.), а оно, сложенное с АВ2, сделается равным квадрату на сумме BE и ЕА, как одной прямой (4ВЕ-ЕА + АВ2 = (BE + ЕА)2.). Но сумма BE и ЕА равна сумме АВ и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать. Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то разность между наибольшим и наименьшим равняется разности чисел, умноженной на уменьшенное, на единицу количество заданных чисел. Пусть даны любые числа АВ, ВГ, ВД, BE с одинаковыми разностями, нужно показать, что разность между




АВ и BE равна разности между АВ и ВГ, умноженной на количество АВ, ВГ, ВД, BE, уменьшенное на единицу.

Действительно, поскольку предполагается, что АВ, ВГ, ВД, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, ДЕ будут между собой равными. Следовательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, ДЕ; количество же АГ, ГД, ДЕ будет на единицу меньше количества АВ, ВГ, ВД, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества АВ, ВГ, В Д, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность. Простым же языком говоря, то существуют треугольные, четырехугольные , пятиугольные и т.д.
^ Треугольные числа
Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, в,

Свойства:

  • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).

  • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
^ Квадратные числа


Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n².
^ Пятиугольные числа
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, *(Арифметика и книга о многоугольных числах. Перевод с древнегреческого)

Вывод: С помощью геометрической интерпретации, Диофант вывел формулы последовательностей многоугольных чисел, что вызывает интерес у математиков.


5. Заключение.

Диофант Александрийский, стремится свести решения от простого к сложному, основываясь на различных подходах к решению уравнений, а так же используя «Пифагоровы тройки».

В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, его последователях, а также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли. Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история Диофантова анализа показалась мне особенно интересной.


6. Список используемой литературы.

1. Арифметика и книга о многоугольных числах. Перевод с древнегреческого

2. Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.

3. Задания городских и районных олимпиад.

4.Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М:Советская наука, 1956

5. Перельман А.Я. Живая математика. – Москва, 1962 г.

6. Приглашение в элементарную теорию чисел. А. Э. Сергеев, Э. А. Сергеев.

7. Форков А.В. Математические олимпиады в школе. – Москва: Айрис-пресс, 2003 г.

8.Черкасов О.Ю. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену.- М.: Рольф. 2000.

9.Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П.– Москва: педагогика, 1989 г.


13-preimushestva-strukturirovannih-kabelnih-sistem-poyasnitelnaya-zapiska-2201-000000-003-pz-rukovoditel-st-prep.html
13-prigotovlenie-i-ispolzovanie-i-prodovolstviya-respubliki-belarus.html
13-prilozheniya-k-otchetu-prilozhenie-1-spisok-oborudovaniya-kafedri-spravka.html
13-primeri-resheniya-auditornih-zadach-metodicheskie-ukazaniya-k-prakticheskim-zanyatiyam-dlya-studentov-specialnosti.html
13-prioriteti-i-logika-modernizaciiorganizacionno-ekonomicheskogo-mehanizma-upravleniya-predpriyatiem.html
13-problemi-issledovaniya-svyazi-obshestvennih-i-mezhlichnostnih-otnoshenij.html
  • control.bystrickaya.ru/d-semerichnost-v-ekzotericheskih-trudah-tajnaya-doktrina.html
  • occupation.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-vipolneniyu-vneauditornoj-samostoyatelnoj-raboti-po-discipline-istoriya-dlya-studentov-zaochnoj-formi-obucheniya.html
  • essay.bystrickaya.ru/ego-pamyat-na-podrobnosti-svyazana-s-tem-stranica-8.html
  • textbook.bystrickaya.ru/habarovskij-torgovo-ekonomicheskij-tehnikum-metodicheskie-rekomendacii-dlya-studentov-po-tekushemu-kontrolyu-znanij-habarovsk-2014-vvedenie.html
  • bystrickaya.ru/zadachi-funkcionalno-planirovochnoj-organizacii-na-razlichnih-gradostroitelnih-urovnyah-40-4-goroda-41.html
  • letter.bystrickaya.ru/municipalnij-zadanie-dlya-byudzhetnih-uchrezhdenij-za-3-goda-analiz-socialnih-uslovij-deyatelnosti-kolichestvo-i-socialnij-sostav-mikrorajona-gde-raspolozheno-udod.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/predstaviteli-obshestvennosti-vnov-prizivayut-pereimenovat-sverdlovskuyu-oblast-gosduma-rf-monitoring-smi-23-maya-2008-g.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kontrolnaya-rabota-dlya-studentov-zaochnogo-otdeleniya-po-specialnosti-270103-stroitelstvo-i-ekspluataciya-zdanij-i-sooruzhenij-stranica-2.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vitek-shiroko-ulibaetsya-obnazhaya-silno-prorezhennie-zhiznyu-korichnevatie-zubi-semenova-on-uvazhaet-i-lyubit-pri-sluchae-skazat-chto-mol-ti-sergeich-namekni-es-stranica-7.html
  • studies.bystrickaya.ru/glava-1-koncepciya-marketinga-obrazovatelnih-uslug-httpmou-marketologi-ruindex-html.html
  • lesson.bystrickaya.ru/storya-vjskovo-povtryanih-sil-ukrani-2.html
  • shkola.bystrickaya.ru/strategemi-voennie-hitrosti-strategemi-voennie-hitrosti.html
  • literatura.bystrickaya.ru/rezhim-tuner-ustrojstvo-radiopriemnoe-marantz-s-r50-04sr6004-rukovodstvo-po-ekspluatacii.html
  • writing.bystrickaya.ru/hai-stevan-l-evti-mo-zhivotni-put-puteshestvi-a-stranica-14.html
  • report.bystrickaya.ru/ill-be-your-mirror-izdanie-osushestvleno-v-ramkah-programmi-pushkin-pri-podderzhke-ministerstva-inostrannih-del.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-konferencii-budet-rassilatsya-vsem-uchastnikam-po-elektronnoj-pochte-pechatnij-variant-budet-vislan-v-adres-rukovoditelej-vashih-organizacij-razmeshenie-inogorodnih-uchastnikov.html
  • student.bystrickaya.ru/10-00-11-30-pervaya-sekciya-analiticheskij-partner-analitika-treh-rinkov-ot-vedushih-analitikov-i-ekspertov.html
  • pisat.bystrickaya.ru/stroenie-atoma-himicheskaya-svyaz.html
  • essay.bystrickaya.ru/doklad-o-deyatelnosti-upolnomochennogo-po-pravam-cheloveka-stranica-12.html
  • shkola.bystrickaya.ru/osobennosti-razvitiya-skorostno-silovih-kachestv-yunih-futbolistov-10-18-let.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/socialno-kulturnij-servis-i-turizm-gosi-2003g-chast-27.html
  • report.bystrickaya.ru/inna-petrovna-krutikova-hudozhestvennij-rukovoditel-i-dirizher-orkestra-russkih-narodnih-instrumentov-kadans-direktor-muzikalnoj-shkoli-kadans-tel-26043055.html
  • shpora.bystrickaya.ru/vpishi-sam-stranica-13.html
  • control.bystrickaya.ru/biznes-naruzhnoj-reklami.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/7-raschet-ekonomicheskogo-effekta-diplomnij-proekt.html
  • student.bystrickaya.ru/32-professionalnie-kompetencii-po-napravleniyu-po-napravleniyu-podgotovki-mezhdunarodnie-otnosheniya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/metodika-distancionnogo-vipolneniya-raschetno-graficheskoj-raboti-po-razdelu-elektrotehniki-elektricheskie-mashini-peremennogo-toka.html
  • klass.bystrickaya.ru/astana-alasi-66-mektep-licej-aza-tl-men-debiet-pnn-malm-zhumabaeva-gulmira-zhantleuovna-tairibi-bayandauish-masati.html
  • doklad.bystrickaya.ru/urok-konferenciya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/3-struktura-pedagogicheskoj-psihologii-svyaz-pedagogicheskoj-psihologii-s-drugimi-naukami.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-1-istoki-sovremennoe-sostoyanie-i-perspektivi-razvitiya-kriminologicheskoj-nauki.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-27-dekabrya-2010-g-stranica-22.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/programma-po-viyavleniyu-i-sohraneniyu-biologicheski-cennih-lesov-zao-shuyales.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/v-m-tanaev-ponyatie-risk-v-grazhdanskom-kodekse-rossijskoj-federacii-stranica-14.html
  • universitet.bystrickaya.ru/svobodnaya-oferta-metodicheskie-ukazaniya-po-samostoyatelnoj-rabote-studentov-dlya-studentov-vseh-form-obucheniya-disciplina.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.