.RU

3.4 Задачи для самостоятельного решения - Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности...


^ 3.4 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Структурная надежностная схема невосстанавливаемой системы представлена на рис. 3.6. Известны показатели надежности элементов системы: p1= p3= p7= 0,935, p2= p6= p10= 0,863, p4= p5= p8=0,9. Определить:

- вероятность безотказной работы системы;

- среднюю наработку системы до отказа;

- интенсивность отказов.



Рис. 3.6


Задача 2. Из условия предыдущей задачи, рассматривая систему как восстанавливаемую, определить ее вероятность безотказной работы.
^ 3.5 Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте условия применимости ЛВМ для расчета надежности сложно- структурных систем.

2. Какие основные способы описания логических условий работоспособности систем используют в ЛВМ?

3. Что понимают под СДНФ и СКНФ?

4. Назовите основные правила перехода от ФАЛ к ВФ.

5. Какую ФАЛ называют бесповторной?

6. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную по методу «треугольник – звезда»?

7. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную для метода алгоритма разрезания?

8. Чем различаются методики аналитической оценки ПН для восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем при использовании ЛВМ?

9. Как с помощью ЛВМ по известным - и - характеристикам элементов рассчитать ПН и системы?

10. В каких случаях показатель рассчитывают, используя повторную или бесповторную форму ФАЛ?

11. Перечислите основные достоинства и недостатки ЛВМ.

^ 4. Марковские процессы с дискретными состояниями. Марковские цепи


4.1 Цель занятия
Освоение студентами методики расчетов надежности сложных систем с использованием метода переходных вероятностей, использующего аппарат марковских процессов с дискретным временем.

В результате проведения занятия студенты должны знать:

особенности расчета надежности сложных систем с использованием метода переходных вероятностей, методологические основы этого метода и условия его применения для анали­тической оценки ПН восстанавливаемых систем.

Студенты должны уметь практически использовать положения метода переходных вероятностей в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением; по размеченному графу состояний системы находить вероятности состояний.

^ 4.2 Основные теоретические положения по теме занятия
Рассмотрим физическую систему S, в которой протекает случайный процесс с дискретными состояниями:

s1, s2, s3,…, si,…, (4.1)

число которых конечно (или счетно). Состояния s1, s2, s3,…, si,…могут быть качественными (т.е. описываться словами) или же каждое из них характеризуется случайной величиной. Для представления множества состояний (4.1) удобно пользоваться ориентированным графом состояний. Ориентированный граф – это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). Вершины графа будут соответствовать состояниям системы; стрелка, ведущая из одной вершины в другую, будет обозначать возможность перехода системы из одного состояния в другое непосредственно, минуя другие состояния.

На практике очень часто встречаются системы, состояния которых образуют цепь (рис.4. 1), в которой каждое состояние si (кроме двух крайних s0 и sn) связано прямой и обратной связью с двумя соседними si-1, si+1, а каждое из двух крайних связано прямой и обратной связью только с одним соседним.

 Рис. 4. 1


Такая схема случайного процесса называется схемой гибели и размножения, а сам процесс – процессом гибели и размножения.

Предположим, техническое устройство (ТУ) состоит из n одинаковых узлов. Каждый из узлов может в момент t быть исправным или неисправным; если узел неисправен, его ремонтируют. Состояния si системы S (ТУ) могут быть пронумерованы по числу несправных узлов:


S0 - в ТУ нет неисправных узлов;

S1 – в ТУ один неисправный узел (какой - неважно);

…………………………………………………………

Si – в ТУ i неисправных узлов (0
…………………………………………………………

Sn – в ТУ все n узлов неисправны.


Состояния s0,….., sn организованы по схеме гибели и размножения (рис. 4. 1); стрелки, идущие слева направо, отвечают увеличению числа неисправных узлов; перемещения системы S по этим стрелкам происходят под влиянием отказов узлов, т.е. перехода какого-то узла из исправного состояния в неисправное; стрелки, идущие справа налево – под влиянием ремонтов (восстановлений) узлов. Считается, что «перескок» системы S из состояния si не в соседнее с ним состояние si+1 или si-1, а в какое-то другое из связанных с si состояний, практически невозможен (это связано с ординарностью потоков отказов и восстановлений). Очень многие случайные процессы организованы по схеме гибели и размножения.

Если на графе состояний системы S стрелки, ведущие справа налево, отсутствуют, то говорят о процессе «чистого размножения», а в противоположном случае – о процессе «чистой гибели».

При анализе случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями, важную роль играют вероятности состояний.

Обозначим S(t) состояние системы в момент t. Вероятностью i-ого состояния в момент t называется вероятность события, состоящего в том, что в момент t система S будет в состоянии si: обозначим ее pi(t):

(4.2)


где S(t) – случайное состояние системы S в момент t.

Очевидно, что для системы с дискретными состояниями s1, s2, s3,…, si,… в любой момент t сумма вероятностей состояний равна единице:

(4.3)

как сумма вероятностей полной группы несовместных событий.

Введем очень важное для дальнейшего понятие марковского случайного процесса.

Случайный процесс, протекающий в системе S с дискретными состояниями s1, s2, s3,…, si,…называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятность каждого из состояний системы в будущем (при t>t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t=t0) и не зависит от того, когда и как она пришла в это состояние; т.е. не зависит от ее поведения в прошлом (при t
«Настоящее» может быть задано не одним каким-то состоянием si, а целым подмножеством состояний , где ^ W – множество всех возможных состояний системы.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова).

Реализация случайного процесса блуждания системы по состояниям может иметь, например, такой вид:

что означает, что ТУ в начальный момент исправно; при первом осмотре – также исправно; при втором – частично исправно, требует наладки; при третьем исправно; при четвертом – обнаружена серьезная неисправность, требует ремонта; при пятом – снова исправно; при шестом – признано неисправным, списано (дальнейшее развитие процесса невозможно, так как он дошел до поглощающего состояния s4).

Рассмотрим общий случай. Пусть происходит случайный процесс в системе ^ S с дискретными состояниями s1, s2, …,si, …,sn, которые она может принимать в последовательности шагов с номерами 0, 1, 2, …, k, …

Случайный процесс представляет собой последовательность событий вида (i=1, 2 , …,n; k=0, 1, 2,…). Эта последовательность («цепь») подлежит изучению. Наиболее важной ее характеристикой являются вероятности состояний системы

(i=1, 2, …,n; k=0, 1, 2, …), (4.4) где - вероятность того, что на k-ом шаге система S будет находиться в состоянии si.

Распределение вероятностей (4.4) представляет собой не что иное, как одномерный закон распределения случайного процесса S(t), протекающего в системе S с «качественными» дискретными состояниями и дискретным временем t0, t1, t2, …, tk,…

Процесс, протекающий в системе S называется марковским процессом с дискретными состояниями и дискретным временем (или, короче, марковской цепью), если выполняется следующее условие: для любого фиксированного момента времени (любого шага k0) условные вероятности состояний системы в будущем (при k>k0) зависят только от состояния в настоящем (при k=k0) и не зависят от того, когда (на каком шаге, при k
Понятие «настоящего» может быть сформулировано по-разному; например, «на k0 -ом шаге система находится в состоянии si», если вероятности состояний системы на последующих шагах зависят только от si, а не от предыдущих состояний системы. Если же эта вероятность зависит еще и от того, откуда (из какого состояния sj) система пришла в состояние si, можно включить это состояние sj в описание «настоящего».

Цепь, в которой условные вероятности состояний в будущем зависят только от состояния на данном, последнем, шаге и не зависят от предыдущих, иногда называют простой цепью маркова, в отличие от такой, где будущее зависит от состояний системы не только в настоящем на данном шаге, но и от ее состояний на нескольких предыдущих шагах; такую цепь называют сложной цепью Маркова.

Из определения марковской цепи следует, что для нее вероятность перехода системы S в состояние sj на (k+1)-м шаге зависит только от того, в каком состоянии si находилась система на предыдущем k-м шаге и не зависит от того, как она вела себя до этого k-ого шага.


Основной задачей исследования марковской цепи является нахождение безусловных вероятностей нахождения системы S на любом (k-м) шаге в состоянии si; обозначим эту вероятность

(i=1, 2, …, n; k=0, 1, 2, …). (4.5)

Для нахождения этих вероятностей необходимо знать условные вероятности перехода системы S на k-м шаге в состояние sj , если известно, что она была в состоянии si. Обозначим эту вероятность

(i,j=1, 2, …,n). (4.6)

Вероятности называются переходными вероятностями марковской цепи на k-м шаге. Вероятность есть вероятность того, что на k-м шаге система задержится (останется) в состоянии si.

Переходные вероятности можно записать в виде квадратной таблицы (матрицы) размерности


(k=0, 1, 2, …). (4.7)


По главной диагонали матрицы (4.7) стоят вероятности задержки системы в данном состоянии sj (j=1, …, n) на k-ом шаге.

p11(k), p22(k), …, pjj(k), …, pnn(k). (4.8)

Так как на каждом шаге система S может находиться только в одном из взаимно исключающих состояний, то для любой i-ой строки матрицы (5.7) сумма всех стоящих в ней вероятностей равна единице:

(4.9)

Матрица, обладающая таким свойством, называется стохастической. Естественно, что все элементы стохастической матрицы отвечают условию В силу условия (4.9) можно в матрице (4.7) не задавать вероятности задержки, а получать их как дополнения до единицы всех остальных членов строки:

(4.10)

Чтобы найти безусловные вероятности недостаточно знать матрицу переходных вероятностей (4.7); нужно еще знать начальное распределение вероятностей, т. е. вероятности состояний pi(0), соответствующие началу процесса – моменту t0=0:

(4.11)

в сумме образующие единицу:

(4.12)

Если известно, что в начальный момент система S находится во вполне определенном состоянии si, то вероятность pi(0) этого состояния в формуле (4.12) равна единице, а все остальные – нулю:

(4.13)

Цепь Маркова называется однородной, если переходные вероятности pij(k) не зависят от номера шага k: pij(k)=pij. Матрица переходных вероятностей для однородной цепи Маркова имеет вид:

(4.14)

При нахождении вероятностей состояний марковской цепи на k-ом шаге pi(k) (k=1, 2, …) удобно пользоваться размеченным графом состояний системы S, где возле каждой стрелки, ведущей из состояния si в состояние sj, проставлена переходная вероятность pij; вероятности задержки на размеченном графе не проставляются, а просто получаются дополнением до единицы суммы вероятностей, стоящих у всех стрелок, ведущих из данного состояния si. Образец такого размеченного графа состояний показан на рис. 4.2.


S3

S4

S2

S1

S5
P12 P24




P21




P31 P43 P45


Рис. 4.2.

Для этого графа состояний вероятности задержек равны:

.

(на размеченном графе эти вероятности для простоты не проставляются).

Теперь рассмотрим, как найти для однородной цепи Маркова безусловную вероятность нахождения системы S на k-ом шаге в состоянии sj (j=1, 2, …, n):

(4.15)

если задана матрица переходных вероятностей (или, что равнозначно, размеченный граф состояний) и начальное распределение вероятностей:

(4.16)

Сделаем гипотезу, состоящую в том, что в начальный момент (k=0) система находилась в состоянии si. Вероятность этой гипотезы равна:



В предположении, что эта гипотеза имеет место, условная вероятность того, что система ^ S на первом шаге будет в состоянии sj, равна переходной вероятности

По формуле полной вероятности получим:

(4.17)

Таким образом, найдено распределение вероятностей системы S на первом шаге. Для нахождения распределения вероятностей на втором шаге, которое для цепи Маркова зависит только от распределение вероятностей на первом шаге и матрицы переходных вероятностей, опять сделаем гипотезу, состоящую в том, что на первом шаге система находится в состоянии si; вероятность этой гипотезы нам уже известна и равна

(i=1, 2, …,n).

При этой гипотезе условная вероятность того, что на втором шаге система S будет в состоянии sj, равна:



По формуле полной вероятности находим:

(4.18)

Таким образом, получено распределение вероятностей (4.18) на втором шаге через распределение на первом шаге и матрицу . Переходя таким же способом от k=2 к k=3 и т. д., получим рекуррентную формулу:

(4.19)

21-teoreticheskij-blok-metodicheskie-ukazaniya-po-podgotovke-k-itogovomu-mezhdisciplinarnomu-ekzamenu-i-napisaniyu.html
21-ti-hochesh-dozhit-do-vosmidesyati-luchshe-zhivi-vechnuyu-zhizn-instrukciya-dlya-dzadzen-12-dzadzen-yodzinki.html
21-toplivno-energeticheskij-kompleks-lekcii.html
21-trebovaniya-k-soderzhaniyu-i-sostavu-zayavki-na-uchastie-v-otkritom-aukcione-v-elektronnoj-forme.html
21-uchebno-tematicheskij-plan-rabochaya-uchebnaya-programma-po-discipline-nacionalnaya-bezopasnost-rossii-dlya-specialnosti.html
21-upravlenie-kapitalom-otchet-o-finansovom-polozhenii-po-sostoyaniyu-na-31dekabrya-2010-goda-3-v-tisyachah-rublej-3.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/pesa-v-chetireh-dejstviyah.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-16-jen-pirs-byust-bernini.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochej-programmi-uchebnoj-disciplini-osnovi-prirodopolzovaniya-naimenovanie-uchebnoj-disciplini.html
  • composition.bystrickaya.ru/polozheni-e-o-rabochej-gruppe-po-obespecheniyu-deyatelnosti-svyazannoj-s-opredeleniem-rezultatov-viborov-prezidenta-rossijskoj-federacii.html
  • testyi.bystrickaya.ru/a-kak-ubrat-progu-iz-okna-zavershenie-raboti-programmi-kak-uznat-iz-programmi-otkuda-ona-zapushena-8-mne-nado.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nacionalnaya-bezopasnost-i-demokratiya-v-izraile-stranica-3.html
  • shkola.bystrickaya.ru/rabota-zhurnalista-v-pryamom-efire-na-primere-programm-gorod-segodnya-i-kak-zhit-budem.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-42-ostrie-kunti.html
  • bystrickaya.ru/zapiski-po-blgarskite-vstaniya-stranica-8.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nemeckij-filosof-kulturolog-storonnik-diskretnogo-haraktera-istorii-utverzhdal-chto-ne-sushestvuet-postupatelnogo-razvitiya-kulturi-s-ego-zakonomernostyami.html
  • reading.bystrickaya.ru/kodirovannie-oboznacheniya-dopuskaemih-otklonenij-emkostej-kondensatorov-yu-p-alekseev-bitovaya-radioapparatura-i-ee-remont.html
  • uchit.bystrickaya.ru/test-test-psihologiya-delovih-otnoshenij-bogatov-v-v-zagruzit-dlya-lokalnogo-prosmotra.html
  • composition.bystrickaya.ru/pishevaya-cennost-zhivoj-ribi-chast-5.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/aleksandr-kondratenko-put-dlinoj-v-80-let-k-80-letiyu-proizvodstvennoj-deyatelnosti-sevkavgiprovodhoza-g-pyatigorsk-2007-god-bbk-84-2rosrus6-stranica-12.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2-izdanie-osushestvleno-pri-sodejstvii.html
  • books.bystrickaya.ru/disk-24-russkie-skazki-1-kollekciya-multfilmov-96-dvd.html
  • literatura.bystrickaya.ru/s-uchetom-trebovanij-sovremennogo-boya.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-6-sergej-lukyanenko.html
  • klass.bystrickaya.ru/5ostrov-esmi-rassvet-sumerki.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/marina-krimova-glavnaya-kniga-sudbi-polnoe-prakticheskoe-rukovodstvo-stranica-13.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-hirurgicheskaya-anatomiya-grudi-raneniya-grudi-hirurgicheskaya-anatomiya-serdca-hirurgicheskaya-anatomiya-pishevoda-principi-operativnih-vmeshatelstv-na-serdce-i-pishevode.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-pn-klinikali-biohimiyali-zertteu-dster-zhne-biologiyali-himiya-mamandii-bojinsha-0305000-laboratoriyali-diagnostika.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/trebovaniya-k-urovnyu-osvoeniya-praktiki-metodicheskie-rekomendacii-po-vrachebnoj-klinicheskoj-proizvodstvennoj-praktike.html
  • occupation.bystrickaya.ru/n-n-bodh-atomnaya-fizika-i-vsyo-takoe.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zarya-i-noch-dve-bogini-ne-terpyashie-obmana-pust-sdelayut-tak-chtobi-obe-polovini-sutok-ohranyali-nas-stranica-3.html
  • university.bystrickaya.ru/ex4-preobrazujte-predlozheniya-v-reported-speech-metodicheskie-ukazaniya-dlya-studentov-zaochnogo-otdeleniya-inostrannij-yazik.html
  • lesson.bystrickaya.ru/tablica-2-naibolee-chastie-prichini-bolej-v-zhivote-yu-yu-eliseev-psihosomaticheskie-zabolevaniya.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/sistema-zelenaya-karta.html
  • tasks.bystrickaya.ru/25koncepciya-lichnosti-vs-merlina-shpargalka-po-obshej-psihologii-litres-ru.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/prilozheniya-2-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-studentov-specialnoj-medicinskoj-gruppi-1-4-kursov-otdeleniya-dnevnogo.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-b-v-05-vvodnij-kurs-matematiki.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplina-mikroekonomika-chast-1-i-chast-2-dlya-bakalavrov-po-napravleniyu-ekonomika-080100-stranica-2.html
  • books.bystrickaya.ru/celevie-mashini-mificheskij-cheloveko-mesyac-ili-kak-sozdayutsya-programmnie-sistemi.html
  • composition.bystrickaya.ru/osnovnie-dati-zhizni-i-tvorchestva-k-e-ciolkovskogo-skazka-rasskazannaya-ciolkovskim-vnuku-alyoshe.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-19-syuzen-viggs-dom-u-ozera.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.